Symplectic Geometry

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Definizione di Forma bilinerare, simplettica, non degenere

Spazio vettoriale reale. Sia $V$ uno spazio vettoriale definito sul campo dei numeri reali $\mathbb{R}$.

Forma bilineare. Sia $$ \omega : V \times V \longrightarrow \mathbb{R} $$ una mappa bilineare.

La bilinearità richiede che, per ogni $(v,w,z \; in\; V)$ e per ogni $(\lambda \; in\; \mathbb{R})$, valga $$ \omega(v, w + \lambda z) = \omega(v,w) + \lambda \omega(v,z), $$ e analogamente la linearità nella prima variabile.

Antisimmetria. La forma bilineare $\omega$ si dice antisimmetrica se $$ \omega(v,w) = -\omega(w,v) \qquad \forall\, v,w \in V. $$

Non degenerazione. La forma $\omega$ è detta non degenere se la condizione $$ \omega(v,w) = 0 \quad \forall\, w \in V $$ implica necessariamente $$ v = 0_V, $$ dove $0_V$ denota il vettore nullo di $V$.

Definizione di spazio vettoriale simplettico.

La coppia $(V,\omega)$ si dice $spazio\; vettoriale\; simplettico$ se $\omega$ è una forma bilineare antisimmetrica e non degenere su $V$.

Spazio vettoriale $V$

$$ V = \mathbb{R}^{2n} $$

è uno spazio vettoriale reale di dimensione $(2n)$, munito della base canonica ordinata $$ \{e_1,\dots,e_n,f_1,\dots,f_n\}. $$

Ogni vettore $(v \; in\; V)$ si scrive in modo unico come $$ v = \sum_{i=1}^n v_1^i\, e_i + \sum_{i=1}^n v_2^i\, f_i, $$ e analogamente, per $(w \; in\; V)$, $$ w = \sum_{i=1}^n w_1^i\, e_i + \sum_{i=1}^n w_2^i\, f_i. $$

Definizione della forma simplettica.

Definiamo una forma bilineare $$ \omega : \mathbb{R}^{2n} \times \mathbb{R}^{2n} \longrightarrow \mathbb{R} $$ assegnandone i valori sui vettori della base come segue: $$ \omega(e_i,e_j)=0, \qquad \omega(f_i,f_j)=0, $$ $$ \omega(e_i,f_j)=\delta_{ij}, \qquad \omega(f_i,e_j)=-\delta_{ij}, $$ dove $(\delta_{ij})$ è il delta di Kronecker.

Estensione per bilinearità.

La forma $(\omega)$ è completamente determinata dalle relazioni precedenti ed è estesa a tutto lo spazio per bilinearità. In particolare, per $$ v = (v_1,v_2), \qquad w = (w_1,w_2), $$ con $(v_1,v_2,w_1,w_2 \; in\; \mathbb{R}^n)$, si ottiene $$ \omega(v,w) = v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1. $$

Rappresentazione matriciale.

Rispetto alla base $(\{e_1,\dots,e_n,f_1,\dots,f_n\})$, la forma simplettica $(\omega)$ è rappresentata dalla matrice $$ J = \begin{pmatrix} 0_n & I_n \

• I_n & 0_n

\end{pmatrix}, $$ dove $(I_n)$ denota la matrice identità $(n \times n)$.

Proprietà fondamentali.

La forma $(\omega)$ così definita è:

• bilineare,
• antisimmetrica, cioè $(\omega(v,w) = -\omega(w,v))$,
• non degenere.

Pertanto $((\mathbb{R}^{2n},\omega))$ è uno spazio vettoriale simplettico standard.

Dal caso lineare al caso differenziale.

Nel contesto lineare, uno spazio vettoriale simplettico è una coppia $(V,\omega)$, dove $V$ è uno spazio vettoriale reale e $$ \omega : V \times V \longrightarrow \mathbb{R} $$ è una forma bilineare, antisimmetrica e non degenere.

Nel contesto differenziale, questa struttura viene estesa punto per punto allo spazio tangente di una varietà liscia.

Varietà simplettica.

Sia $M$ una varietà differenziabile liscia di dimensione $2n$. Una $forma\; simplettica$ su $M$ è una 2-forma differenziale $$ \omega \;in\; \Omega^2(M) $$ che soddisfa le seguenti proprietà.

Chiusura.

La forma simplettica è chiusa rispetto alla derivata esterna: $$ d\omega = 0. $$ Questa condizione esprime una compatibilità globale della struttura simplettica sulla varietà.

Non degenerazione puntuale.

La forma $\omega$ è non degenere se, per ogni punto $p \; in\; M$ e per ogni vettore tangente non nullo $v \; in\: T_p M$, esiste un vettore $u \; in\; T_p M$ tale che $$ \omega_p(v,u) \neq 0. $$ Equivalentemente, $$ \omega_p(v,w) = 0 \quad \forall\, w \in T_p M \;\;\Longrightarrow\;\; v = 0. $$

Struttura simplettica locale.

Per ogni punto $p \; in\; M$, la restrizione $$ \omega_p : T_p M \times T_p M \longrightarrow \mathbb{R} $$ definisce una forma bilineare antisimmetrica e non degenere. Pertanto, ogni spazio tangente $T_p M$ è uno spazio vettoriale simplettico nel senso della definizione lineare precedente.

Invertibilità.

La non degenerazione implica che la applicazione lineare $$ \flat_\omega : T_p M \longrightarrow T_p^* M, \qquad v \mapsto \omega_p(v,\cdot), $$ è un isomorfismo. In questo senso, la forma simplettica fornisce un accoppiamento non degenere tra vettori tangenti e covettori, rendendo la struttura localmente invertibile.

Forma simplettica canonica

Oscillatore armonico

import numpy as np 

def canonical_symplectic_matrix(n):
    I = np.eye(n)
    Z = np.zeros((n,n))
    return np.block([[Z, I], [-I, Z]])

def grad_H(qp):
    q, p = qp
    return np.array([q, p])

def hamiltonian_vector_field(gradH, J):
    return J @ gradH

J = canonical_symplectic_matrix(1)

# punto nello spazio delle fasi
qp = np.array([1.0, 0.0])  # q=1, p=0

gradH = grad_H(qp)
X_H = hamiltonian_vector_field(gradH, J)

print("Grad H:", gradH)
print("Hamiltonian vector field:", X_H)

Grad H: [1. 0.]
Hamiltonian vector field: [ 0. -1.]

Poisson Bracket

import numpy as np 

def poisson_bracket(gradf, gradg, J):
    return gradf @ J @ gradg

gradq = np.array([1,0])
gradp = np.array([0,1])

print(poisson_bracket(gradq, gradp, J))

1.0