Integrable Systems

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Liouville-Arnold Theorem - involuzione

In meccanica hamiltoniana, un sistema si dice integrabile se ammette $n$ costanti del moto indipendenti $I_1, I_2, \dots, I_n$.

Supponiamo di avere un sistema hamiltoniano con $n$ gradi di libertà e $n$ costanti del moto $$\large \{ I_1, I_2, \dots, I_n \}. $$

Le costanti del moto si dicono $in\; involuzione$ se commutano a due a due rispetto alla parentesi di Poisson, cioè $$\large \{ I_i, I_j \} = 0 \qquad \forall\, i,j = 1,\dots,n. $$

La parentesi di Poisson di due funzioni $f(q,p)$ e $g(q,p)$ è definita come $$\large { f, g } = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q_k} \frac{\partial g}{\partial p_k}\frac{\partial f}{\partial p_k} \frac{\partial g}{\partial q_k} \right). $$

Questa condizione garantisce che i flussi hamiltoniani generati dalle quantità $I_i$ siano compatibili tra loro e permette l’introduzione delle coordinate azione--angolo.

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

# Hamiltoniana dipendente solo da I
def hamiltonian(I):
    return 0.5 * I**2

# Equazioni del moto in azione-angolo
def equations_of_motion(t, y):
    I, theta = y
    dI_dt = 0.0
    dtheta_dt = I              # ∂H/∂I
    return [dI_dt, dtheta_dt]

def solve_integrable_system(I0, theta0, t_span, num_points):
    t_eval = np.linspace(t_span[0], t_span[1], num_points)
    sol = solve_ivp(
        equations_of_motion,
        t_span,
        [I0, theta0],
        t_eval=t_eval
    )
    return sol.t, sol.y

I0 = 1.0
theta0 = 0.0
t_array, solution = solve_integrable_system(I0, theta0, (0, 10), 100)

# I_sol = array costante di 1
I_sol = solution[0]
# theta_sol = array di valori linearmente crescenti
theta_sol = solution[1]
theta_sol

def poisson_bracket_H1_H2(q, p):
    return 4 * (q**2 - p**2)

q0, p0 = 1.0, 0.0
print("Poisson bracket:", poisson_bracket_H1_H2(I_sol[0], I_sol[1]))

Poisson bracket: 0.0

Liouville-Arnold Theorem - simpletticità - descrizione formale

Sia $(M,\omega)$ una varietà simplettica di dimensione $2n$ e $H \in C^\infty(M)$ un hamiltoniano.

Supponiamo che esistano $n$ funzioni lisce $$\large I_1, I_2, \dots, I_n \in C^\infty(M) $$ tali che:

• le funzioni $I_1,\dots,I_n$ sono integrali primi del moto, cioè

$$\large \{H, I_k\} = 0 \qquad \forall\, k = 1,\dots,n; $$

• le funzioni $I_1,\dots,I_n$ sono funzionalmente indipendenti su un

aperto denso di $M$, ossia $$\large dI_1 \wedge dI_2 \wedge \cdots \wedge dI_n \neq 0; $$

• le funzioni $I_1,\dots,I_n$ sono in involuzione rispetto alla

parentesi di Poisson indotta da $\omega$, cioè $$\large \{ I_i, I_j \} = 0 \qquad \forall\, i,j = 1,\dots,n. $$

Allora il sistema hamiltoniano $(M,\omega,H)$ è detto completamente integrabile in senso di Liouville.

In particolare, per ogni livello regolare compatto $$\large \Lambda_c = \{ x \in M \mid I_1(x)=c_1,\dots,I_n(x)=c_n \}, $$ la sottovarietà $\Lambda_c$ è un toro lagrangiano $n$-dimensionale e in un intorno di $\Lambda_c$ esistono coordinate canoniche $$\large (I_1,\dots,I_n,\theta_1,\dots,\theta_n), $$ dette coordinate azione--angolo, nelle quali la forma simplettica assume la forma $$\large \omega = \sum_{k=1}^n dI_k \wedge d\theta_k $$ e il moto è lineare nelle variabili angolari: $$\large \dot I_k = 0, \qquad \dot\theta_k = \frac{\partial H}{\partial I_k}. $$